给一个轻弹簧，弹簧一端固定，一端与质量为m的滑块相连，将滑块拉离平衡点，，不计一切摩擦阻力弹簧将会作循环往复的周期运动，怎么推导其周期公式呢

(相关资料图)

高中阶段，课本并没有给出推导，只是冷冰冰地给出其位移随时间的变化表达式和周期公式

在许多人看来，其周期公式的推导需要依赖二阶常系数齐次线性微分方程的求解，其实并不然，其实只需要高中最基本的求导就可以完成公式的推导

如果我们假设振幅为，在任意时刻的速度为v，弹簧拉伸或压缩长度为x

根据能量守恒，我们可以得到：

如果我们对其稍加变形：

由于是一个常数，所以如果我们将  和  看作变量的话，这很明显是一个半径为 的圆的方程

我们可以确定的是：无论弹簧振子如何运动，它的状态一定可以在这个圆上找到

由此我们可以得到 和  的参数方程：

毫无疑问，A是一个关于时间的函数，但我们暂时还不知道它的表达式长什么样

又由于对时间求导可以得到速度，所以我们对 求导可得

（简单的复合函数求导啦）

（表示对时间求导后的导函数）

将其带入  

即可得到

（负号表示在图像中弹簧振子的状态坐标以顺时针方向绕原点运动）

便是图像中表示弹簧运动状态的点的角速度，由计算可得角速度是一个定值，

所以如果想使振子完成一个周期，那么必须在图像中“转一圈”

所以弹簧振子的运动周期就是

由于角速度是个定值，所以随时间呈一次线性关系且在图像中斜率为

即 （C为一个常数，由你的开始记录时弹簧振子的运动状态有关，其实也就是课本中所说的初相），将其带回即可得到位移随时间变化的表达式。

如有错误，还望同志们帮我指出